Question

已知直線y=-2x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的解析式為y=x²-（b+10）x+c．
（1）若b=-5，c=4，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若該拋物線過點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y=-2x+b上，試確定這條拋物線的解析式；
（3）過點(diǎn)B作直線BC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C，若拋物線的對稱軸恰好經(jīng)過點(diǎn)C，求直線y=-2x+b的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）把b、c的值代入得到拋物線解析式，再令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得解；
（2）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線過點(diǎn)B求出b=c，然后用b表示出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，并代入直線解析式解方程求出b的值，從而得到拋物線解析式；
（3）先判定b＜0，然后作出圖形，根據(jù)射影定理求出OC，再根據(jù)拋物線的對稱軸恰好過點(diǎn)C列式求出b的值，即可得解．

解答：解：（1）當(dāng)b=-5，c=4時(shí)，拋物線的解析式為y=x²-5x+4，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4，
所以，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（4，0）；

（2）依題意得，A（

b

2

，0），B（0，b），
∵拋物線y=x²-（b+10）x+c過點(diǎn)B，
∴b=c，
∴拋物線為y=x²-（b+10）x+b，
又∵拋物線y=x²-（b+10）x+b的頂點(diǎn)（

b+10

2

，

4b-(b+10)2

4

）在直線y=-2x+b上，
∴

4b-(b+10)2

4

=-2•

b+10

2

+b，
整理得，b²+16b+60=0，
解得b₁=-10，b₂=-6，
所以，拋物線解析式為y=x²-10或y=x²-4x-6；

（3）如圖所示，

若b＞0，則點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，拋物線對稱軸直線x=-

-(b+10)

2

=

b+10

2

＜0，
解得b＜-10，無公共解，
若b＜0，則點(diǎn)C在x軸正半軸，拋物線對稱軸直線x=-

-(b+10)

2

=

b+10

2

＞0，
解得b＞-10，有公共解；
所以，b＜0，
則OA=-

b

2

，OB=-b，
又因?yàn)锽C⊥AB，OB⊥AC，由射影定理得，
OB²=OA•OC，
即（-b）²=-

b

2

•OC，
解得OC=-2b，
∵拋物線的對稱軸恰好經(jīng)過點(diǎn)C，
∴-2b=

b+10

2

，
解得b=-2，
所以，直線解析式為y=-2x-2．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸解析式，求解較為復(fù)雜，但難度不大，（3）要注意先判斷出b是負(fù)數(shù)．