【題目】如圖1,矩形OBCD的邊OD,OB分別在x軸和y軸上,且B (0,8),D(10,0).點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn),將矩形OBCD沿過點(diǎn)O的射線OE折疊,使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)A處.
(1)若拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A,D,求此拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是(2)中拋物線對稱軸上的一點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,使△AME為等腰三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線D﹣C﹣A以同樣的速度運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止,過動(dòng)點(diǎn)P作直線1⊥x軸,依次交射線OA,OE于點(diǎn)F,G,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),△QFG的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍.(t的取值應(yīng)保證△QFG的存在)
【答案】(1);(2)存在,滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為,(5,5),(5,2.5),理由見解析;(3)
【解析】
(1)先利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;
(2)易求得拋物線的對稱軸x=5,過點(diǎn)E作ET⊥AH,垂足為T,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),運(yùn)用勾股定理用含n的代數(shù)式表示出AM2、EM2,然后分三種情況進(jìn)行討論:AM=AE, EM=EA, MA=ME分別列出等式,求出n,就可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)根據(jù)點(diǎn)Q的位置不同,分以下四種情況進(jìn)行討論:①點(diǎn)Q在線段DC上;②點(diǎn)Q在AC上且在直線l的右邊;③點(diǎn)Q在AC上且在直線l上;④點(diǎn)Q在AC上且在直線l的左邊,分情況討論即可.
(1)解:∵四邊形OBCD是矩形,B(0,8),D(10,0),
∴BC=OD=10,DC=OB=8,∠OBC=∠C=90°.
由折疊可得:OA=OD=10,AE=DE.
∵∠OBC=90°,OB=8,OA=10,
∴AB=,
∴AC=4.
設(shè)AE=DE=x,則CE=8﹣x,
∵∠C=90°,
∴x2=42+(8﹣x)2,
解得:x=5,
∴AE=DE=5,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,8),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,5).
∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(6,8),D(10,0),
∴解得
此拋物線的解析式為;
(2)存在M,使△AME為等腰三角形.
設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作ET⊥AH,垂足為T,連接AM、ME,如圖1,
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則,
∴AH=6﹣5=1,HM=8﹣n,ET=10﹣5=5,TM=5﹣n
∵AH⊥HM,
∴AM2=AH2+MH2=1+(8﹣n)2
∵ET⊥MH
∴ME2=ET2+MT2=25+(5﹣n)2
①若AM=AE,則AM2=AE2,
∴1+(8﹣n)2=25,
∴(8﹣n)2=24,
解得:,
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 ;
②若EM=EA,則EM2=EA2
∴25+(5﹣n)2=25
∴(5﹣n)2=0
∴n3=5
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為;
③若MA=ME,則MA2=ME2
∴1+(8﹣n)2=25+(5﹣n)2
解得:n4=2.5
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為;
綜上所述:滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為,(5,5),(5,2.5);
(3)設(shè)直線OA的解析式y=k1x,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,8),
∴6k1=8,
∴,
∴直線OA的解析式為 ,
同理可得:直線OE的表達(dá)式為y=,
∵OP=1×t=t
∴P(t,0)
∵直線l⊥x軸于點(diǎn)P,點(diǎn)F,G是直線l與OA,OE的交點(diǎn)
∴,
故,
①當(dāng)0<t<8時(shí),點(diǎn)Q在線段DC上,
過點(diǎn)Q作QS⊥直線l,垂足為S,
則QS=PD=10﹣t
∴
=
=;
②當(dāng)8≤t<9時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上,且在直線l的右側(cè),
設(shè)FG交AC于點(diǎn)N,如圖3,
則QN=CN﹣CQ=PD﹣CQ=(10-t)﹣(t﹣8)=18﹣2t
∴
=
=;
③當(dāng)t=9時(shí),QN=18﹣2t=0,點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合,此時(shí)△QFG不存在,故舍去;
④當(dāng)9<t≤10時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上,且在直線l的左側(cè),設(shè)FG交AC于點(diǎn)N,如圖4.
則QN=CQ﹣CN=CQ﹣PD=(t-8)-(10-t)=2t﹣18
∴
=
=;
綜上所述:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“龜兔賽跑”是同學(xué)們熟悉的寓言故事.如圖所示,表示了寓言中的龜、兔的路程S和時(shí)間t的關(guān)系(其中直線段表示烏龜,折線段表示兔子).下列敘述正確的是( )
A. 賽跑中,兔子共休息了50分鐘
B. 烏龜在這次比賽中的平均速度是0.1米/分鐘
C. 兔子比烏龜早到達(dá)終點(diǎn)10分鐘
D. 烏龜追上兔子用了20分鐘
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,.
(1)如圖1,若將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段連接則的面積;
(2)如圖2,點(diǎn)為延長線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接以為直角項(xiàng)點(diǎn),為直角邊作等腰直角連接,求證:;
(3)如圖3,點(diǎn)為線段上兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)使的值最小,若存在,求出最小值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校學(xué)生會(huì)為了解本校學(xué)生每天做作業(yè)所用的時(shí)間情況,采用問卷的方式對一部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,在確定調(diào)查對象時(shí),大家提出以下幾種方案:
(A)對各班班長進(jìn)行調(diào)查;
(B)對某班的全體學(xué)生進(jìn)行調(diào)查;
(C)從全校每班隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
在問卷調(diào)查時(shí),每位被調(diào)查的學(xué)生都選擇了問卷中適合自己的一個(gè)時(shí)間,學(xué)生會(huì)收集到的數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)為了使收集到的數(shù)據(jù)具有代表性,學(xué)生會(huì)在確定調(diào)查對象時(shí)選擇了方案____(填A或B或C);
(2)被調(diào)查的學(xué)生每天做作業(yè)所用的時(shí)間的眾數(shù)為_______小時(shí),中位數(shù)為______小時(shí);
(3)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果,估計(jì)該校800名學(xué)生中每天做作業(yè)時(shí)間用1.5小時(shí)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD 是菱形ABCD 的對角線,∠A=30°.
(1)請用尺規(guī)作圖法,作AB 的垂直平分線EF,垂足為E,交AD 于F;(不要 求寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,連接BF,求∠DBF 的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD的邊長是4,點(diǎn)P是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是正方形邊上的一點(diǎn),若△PBE是等腰三角形,則腰長為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景:我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì):在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.即:如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,則:AC=AB.
探究結(jié)論:小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究.
(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE=AB,易得結(jié)論:①△ACE為等邊三角形;②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖2,點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn),連接AD,作等邊△ADE,且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部,連接BE.試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系,寫出你的猜想并加以證明.
(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長線上任意一點(diǎn)時(shí),在(2)條件的基礎(chǔ)上,線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論 .
拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,1),點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn),以AB為邊作等邊△ABC,當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi),且B(2,0)時(shí),求C點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著科技的進(jìn)步和網(wǎng)絡(luò)資源的豐富,在線學(xué)習(xí)已經(jīng)成為更多人的自主學(xué)習(xí)選擇.某校計(jì)劃為學(xué)生提供以下四類在線學(xué)習(xí)方式:在線閱讀、在線聽課、在線答題和在線討論.為了解學(xué)生需求,該校隨機(jī)對本校部分學(xué)生進(jìn)行了“你對哪類在線學(xué)習(xí)方式最感興趣”的調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)求本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“在線討論”對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(3)該校共有學(xué)生2700人,請你估計(jì)該校對在線閱讀最感興趣的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=4,求△OEC的面積.
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