Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，2），B（2，﹣2）兩點(diǎn)．

⑴用含a的式子表示b．

⑵當(dāng)a=﹣時(shí)，y=ax2+bx+c的函數(shù)值為正整數(shù)，求滿足條件的x值．

⑶若a＞0，線段AB下方的拋物線上有一點(diǎn)E，求證：不管a取何值，當(dāng)△EAB的面積最大時(shí)，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣2a﹣2；（2）x=﹣2或x=0或x=－1+或x=－1－；（3）證明見解析

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法建立方程組求解即可得出結(jié)論；

（2）先求出拋物線解析式，配方得：y=，由y是正整數(shù)，得出（x+1）2=1或（x+1）2=3，解方程即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)三角形的面積的計(jì)算方法建立函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，2），B（2，﹣2），∴，∴，即：b=﹣2a﹣2；

（2）由（1）知，c=2，b=﹣2a﹣2．

∵a，∴b=﹣1，∴拋物線解析式為yx2﹣x+2（x+1）2=．

∵y=ax2+bx+c的函數(shù)值為正整數(shù)，即為正整數(shù)，∴（x+1）2=1或（x+1）2=3，解得：x=﹣2或x=0或x=－1+或x=－1－；

（3）由（1）知，c=2，b=﹣2a﹣2，∴拋物線的解析式為y=ax2﹣（2a+2）x+2．

∵A（0，2），B（2，﹣2），∴直線AB的解析式為y=﹣2x+2．

∵點(diǎn)E在線段AB下方的拋物線上，設(shè)點(diǎn)E（m，am2﹣（2a+2）m+2），過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線，交AB于F，∴F（m，﹣2m﹣2），∴EF=﹣2m﹣2﹣[am2﹣（2a+2）m+2]=﹣a（m﹣1）2+a，∴S△EABEF×|xB﹣xA|=EF=﹣a（m﹣1）2+a．

∵a＞0，∴﹣a＜0，∴m=1時(shí)，△EAB面積最大，即：不管a取大于0的何值，當(dāng)△EAB的面積最大時(shí)，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，定值為1．