Question

如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過(guò)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，且AO：OH=2：1
（1）求k的值；
（2）點(diǎn)N（a，1）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM+PN最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
（3）若平面坐標(biāo)系中另有點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、M、N、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
溫馨提示：在平面直角坐標(biāo)系中以任意兩點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，又由AO：OH=2：1，求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得此反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接MN′與x軸的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，然后利用待定系數(shù)法求得直線MN′的解析式，繼而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）首先求得直線AN的解析式為：y=-

1

4

x+2，直線AM的解析式為：y=2x+2，直線MN的解析式為：y=-x+5，又由以點(diǎn)A、M、N、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可得直線D₁D₂的解析式為：y=-

1

4

x+

17

4

，直線D₁D₃的解析式為：y=2x-7，直線D₂D₃的解析式為：y=-x+2，然后由交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（0，2），
即AO=2，
∵AO：OH=2：1，
∴OH=1，
把x=1代入y=2x+2得：y=4，
∴點(diǎn)M（1，4），
∴把M代入反比例函數(shù)y=

k

x

，得：k=xy=4；

（2）存在．
∵把y=1代入反比例函數(shù)y=

4

x

得：x=4，
∴點(diǎn)N（4，1），
如圖，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為：N′（4，-1），
則MN′與x軸的交點(diǎn)即為P，
設(shè)直線MN′的解析式為：y=kx+b，
得：

k+b=4 4k+b=-1

，
解得：

k=- 5 3 b= 17 3

，
∴直線MN′的解析式為：y=-

5

3

x+

17

3

，
當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=

17

5

，
∴點(diǎn)P（

17

5

，0）；

（3）如圖，直線AN的解析式為：y=-

1

4

x+2，直線AM的解析式為：y=2x+2，直線MN的解析式為：y=-x+5，
∵以點(diǎn)A、M、N、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴直線D₁D₂的解析式為：y=-

1

4

x+

17

4

，直線D₁D₃的解析式為：y=2x-7，直線D₂D₃的解析式為：y=-x+2，
聯(lián)立：

y=- 1 4 x+ 17 4 y=2x-7

得：D₁（5，3）；
同理可得：D₂（-3，5），D₃（3，-1）．
綜上所述：所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D₁（5，3），D₂（-3，5），D₃（3，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)以及最短距離問(wèn)題．此題難度較大，綜合性很強(qiáng)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．