Question

己知如圖，正△ABC的邊長為2，B，C在x軸的正半軸上，A在第一象限，直線y=

1

2

x+

3

-1經(jīng)過A點，以BC為直徑的⊙M交AB于E．
（1）求A點的坐標(biāo)；
（2）求證：OE與⊙M相切；
（3）試各寫出一個頂點在⊙M內(nèi)、⊙M上、⊙M外，且經(jīng)過B、C兩點的拋物線的解析式．（只需寫出解析式，不需書寫求解過程）．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形BMA中，根據(jù)等邊三角形的邊長和∠ABC的正弦值求出AM的長即A點的縱坐標(biāo)，然后代入直線的解析式中即可求出A點的坐標(biāo)；
（2）連接ME，證ME⊥OE即可．易知三角形BEM是等邊三角形，那么BE=BM，根據(jù)A點的坐標(biāo)可求出B點的坐標(biāo)，由此可證得AB=BM，因此證出了BE=

1

2

OM，由此得證；
（3）根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知：拋物線的對稱軸必過M點，因此只需找出拋物線與圓的兩個交點坐標(biāo)，易知：（2，1）（2，-1）．據(jù)此來求拋物線的解析式．

解答：（1）解：連接AM，在直角三角形ABM中，AB=2，∠ABC=60°，
因此BM=1，AM=

3

．
將y=

3

代入直線解析式中：

3

=

1

2

x+

3

-1，x=2
∴A（2，

3

）

（2）證明：由（1）可知：BM=1，
因此OB=OM-BM=2-1=1，
因此BM=OB
連接ME，∵MB=ME，∠ABC=60°，
∴△BME是等邊三角形．
∴BE=OB=BM，
∴∠OME=∠EBM=∠BEM=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠EOB=∠BEO=30°，
∴∠OEM=90°，
∴OE是圓M的切線．

（3）解：當(dāng)頂點在圓上時，拋物線的解析式為y=±（x²-4x+3），其他兩種情況答案不唯一．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、切線的判定等知識點．