Question

4．已知如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F．求證：
（1）△AED≌△AFD；（2）AD垂直平分EF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)全等三角形的判定定理證得Rt△AED≌Rt△AFD；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF，然后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可．

解答 證明：（1）∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△AED≌Rt△AFD；

（2）∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴AD垂直平分EF．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，③等腰三角形的頂角的平分線平分底邊，并且垂直于底邊．