Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線.

（1）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“方點”.試求拋物線的“方點”的坐標；

（2）如圖，若將該拋物線向左平移1個單位長度，新拋物線與軸相交于、兩點（在左側），與軸相交于點，連接.若點是直線上方拋物線上的一點，求的面積的最大值；

（3）第（2）問中平移后的拋物線上是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方點坐標是，；（2）當時，的面積最大，最大值為；（3）存在，或

【解析】

(1)由定義得出x=y，直接代入求解即可

(2)作輔助線PD平行于y軸，先求出拋物線與直線的解析式，設出點P的坐標，利用點坐標求出PD的長，進而求出面積的二次函數，再利用配方法得出最大值

(3)通過拋物線與直線的解析式可求出點B，C的坐標，得出△OBC為等腰直角三角形，過點C作交x軸于點M，作交y軸于點N，得出M，N的坐標，得出直線BN、MC的解析式然后解方程組即可.

解：（1）由題意得：∴

解得，

∴拋物線的方點坐標是，.

（2）過點作軸的平行線交于點.

易得平移后拋物線的表達式為，直線的解析式為.

設，則.

∴

∴

∴當時，的面積最大，最大值為.

(3)如圖所示，過點C作交x軸于點M，作交y軸于點N

由已知條件得出點B的坐標為B(3,0)，C的坐標為C(0,3)，

∴△COB是等腰直角三角形，

∴可得出M、N的坐標分別為：M(-3,0)，N(0,-3)

直線CM的解析式為：y=x+3

直線BN的解析式為：y=x-3

由此可得出：或

解方程組得出：或

∴或