Question

15．如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點，連接PG、PC．若∠ABC=∠BEF=60°，則$\frac{PG}{CG}$的值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 可通過構(gòu)建全等三角形求解．延長GP交DC于H，可證三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯角相等可得出兩三角形中兩組對應(yīng)的角相等，又有DP=PF，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中的（ASA），于是兩三角形全等，那么HP=PG，可根據(jù)三角函數(shù)來得出PG、CG的比例關(guān)系．

解答 解：如圖，
延長GP交DC于點H，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
由題意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
在△GFP和△HDP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GPF=∠HPD}\\{PF=DP}\\{∠GFP=∠HDP}\end{array}\right.$，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三線合一）
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴$\frac{PG}{CG}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．