Question

11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF=90°，如圖①∠EDF的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F．當(dāng)∠EDF的邊DE⊥AC于E時(shí)，S_△DEF，S_△CEF，S_△ABC滿足S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（1）如圖②，當(dāng)∠EDF的邊DE和AC不垂直時(shí)，請(qǐng)證明上述結(jié)論仍然成立；
（2）如圖③，當(dāng)∠EDF的邊DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E的情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S_△DEF，S_△CEF，S_△ABC，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析 （1）先證明△CDE≌△BDF，即可得出結(jié)論；
（2）不成立；同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五邊形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：（1）連接CD；如圖2所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（2）不成立；${S}_{△DEF}-{S}_{△CEF}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；理由如下：連接CD，如圖3所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S_△DEF=S_{五邊形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的關(guān)系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．