Question

16．已知長度分別為3，6，2x-1的三條正整數(shù)長線段可以組成一個三角形．
（1）用記號（3，6，2x-1）表示一個符合條件的三角形，試求出所有符合條件的三角形；
（2）用直尺和圓規(guī)作出符合上述條件且周長小于15的三角形（用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出所作三角形的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

分析 （1）利用三角形三邊的關(guān)系得到3＜2x-1＜9，然后解不等式組，再確定不等式組的整數(shù)解即可；
（2）先作線段AB=3，再以A、B為圓心，6和5為半徑畫弧交于點(diǎn)C，則△ABC滿足條件；作BH⊥AC于H，如圖，則利用勾股定理可計(jì)算出BH，從而得到三角形面積，然后根據(jù)三角形的內(nèi)切圓半徑與三角形的周長積的一半等于三角形面積求三角形的內(nèi)切圓半徑．

解答 解：（1）由題得：3＜2x-1＜9，
而2x-1為整數(shù)，
∴2x-1的值為4、5、6、7、8，
∴符合條件的三角形為（3，6，5）、（3，6，4），（3，6，7），（3，6，6），（3，6，8）；

（2）由（1）得：作邊長為3，6，5的三角形，
如圖，△ABC為所作，

作BH⊥AC于H，如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為r，AH=x，則CH=6-x，
在Rt△ABH，BH²=AB²-AH²=3²-x²，
在Rt△CBH，BH²=CB²-CH²=5²-（6-x）²，
∴3²-x²=5²-（6-x）²，解得x=$\frac{5}{3}$，
∴BH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$r（AB+BC+AC）=$\frac{1}{2}$•BH•AC，
∴r=$\frac{4\sqrt{14}}{14}$=$\frac{2\sqrt{14}}{7}$，
此三角形內(nèi)切圓半徑為$\frac{2\sqrt{14}}{7}$．
當(dāng)三角形三邊為3，6，4時，同法可得內(nèi)切圓半徑為$\frac{\sqrt{455}}{26}$．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．計(jì)算三角形的內(nèi)切圓半徑的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的內(nèi)切圓半徑與三角形的周長積的一半等于三角形面積．