Question

【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，現(xiàn)有1×1，1×a，1×b，a×b的矩形卡片各一張，請你在下面的方框內(nèi)將它們拼成一個大的矩形（要求：畫出分割線，并標注必要的線段長）．觀察操作前后的面積可以得到一個等式，這個等式是什么？

【應用探究】對于一個正整數(shù)n，若能找到正整數(shù)a，b，使得n=a+b+ab，則稱n為一個“妙數(shù)”．例如3=1+1+1×1，則3就是一個“妙數(shù)”．根據(jù)“妙數(shù)”的規(guī)定，解決下列問題：
（1）5是不是一個“妙數(shù)”？為什么？
（2）從1到10這10個正整數(shù)中“妙數(shù)”有多少個．
【活動拓展】在一次數(shù)學活動課上，黑板上寫有1，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

50

共50個數(shù)字．李老師要求同學們進行以下操作：每次操作先從黑板上的數(shù)中任選取2個數(shù)a、b，然后刪去這兩個數(shù)a和b，同時在黑板上寫出與a+b+ab的值相等的數(shù)．試求經(jīng)過49次操作后黑板上剩下的數(shù)．

Answer 1

考點：作圖—應用與設計作圖,因式分解的應用

專題：

分析：【操作發(fā)現(xiàn)】利用圖形面積寫出等式即可；
【應用探究】（1）將5分解為1+2+1×2，即可得出答案；
（2）由n=a+b+ab，可變形為n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合數(shù)，n就是秒數(shù)；
【活動拓展】設經(jīng)過49次操作后，黑板上剩下的數(shù)為x，則：x+1=（1+1）×（

1

2

+1）×（

1

3

+1）×（

1

4

+1）…（

1

50

+1）進而求出x的值即可．

解答：解：【操作發(fā)現(xiàn)】
（1）圖形不唯一，如圖：
a+b+ab+1=（a+1）（b-1）；

【應用探究】
（1）5是一個“妙數(shù)”，理由：5=1+2+1×2；
（2）從1到10這10個正整數(shù)中“秒數(shù)”有3、5、7、8、9共5個；

【活動拓展】
∵a+b+ab+1=（a+1）（b+1），
∴每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)的乘積不變，
設經(jīng)過49次操作后，黑板上剩下的數(shù)為x，則：
x+1=（1+1）×（

1

2

+1）×（

1

3

+1）×（

1

4

+1）…（

1

50

+1），
解得：x+1=51，x=50，
∴經(jīng)過49次操作后黑板上剩下的數(shù)是50．

點評：此題主要考查了應用設計與作圖，由原式變形，可得出n+1數(shù)的性質(zhì)，利用n與n+1的關系，可解答本題．