Question

如圖，矩形ACOB的頂點A坐標為（4a，2a），頂點B、C分別在y軸、x軸上，雙曲線l₁：y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過點A，雙曲線l₂：y=

m

x

（x＞0）經(jīng)過OA的中點P，交AB于點D．
（1）填空：雙曲線1₁的表達式是

 

（用a表示）
（2）求雙曲線l₂稍微表達式．（用a表示）
操作：在射線BA上取點E，使BE=4，過E作EF⊥x軸，EF與直線OD，OA分別交于點M．N．
（3）如圖2，如果0＜a＜1，
①△BOD與△BAO相似嗎？請證明你的結(jié)論．
②ME-NE的值是定值嗎？如果是，請求出這個定值；如果不是請說明理由．
（4）如果a＞4，請直接寫出ME與NE之間的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,相似三角形的判定

專題：綜合題

分析：（1）只需用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）只需利用中點坐標公式求出點P的坐標，然后用待定系數(shù)法就可解決問題；
（3）①只需用a的代數(shù)式表示出BD、OB、BA的長度，然后運用相似三角形的判定（2）就可解決問題；
②可先求出直線OA、直線OD的解析式，然后再求出點M、N的縱坐標，就可解決問題；
（4）由a＞4可得點E在線段BD上，然后借鑒（3）②的解題經(jīng)驗，就可解決問題．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過點A（4a，2a），
∴k=4a×2a=8a²，
∴雙曲線l₁的表達式為y=

8a2

x

．
故答案為：y=

8a2

x

．

（2）如圖1，

∵點P為OA的中點，A（4a，2a），
∴點P的坐標為（2a，a）．
∵雙曲線y=

m

x

（x＞0）經(jīng)過點P，
∴m=2a×a=2a²，
∴雙曲線l₂的表達式為y=

2a2

x

．

（3）①△BOD∽△BAO．
證明：由題可得：y_D=y_A=2a．
∵點D在雙曲線y=

2a2

x

上，
∴

2a2

x

=2a，
解得：x=a，
∴點D的坐標為（a，2a），
∴BD=a．
∵四邊形ACOB是矩形，A（4a，2a），
∴AB=4a，OB=2a，
∴

BD

BO

=

BO

BA

=

1

2

．
∵∠OBD=∠ABO，
∴△BOD∽△BAO．
②ME-NE的值是定值．
由題可得：x_M=x_N=x_E=4．
∵0＜a＜1，
∴AB=4a＜4．
∵BE=4，
∴AB＜BE，
∴點E在線段BA的延長線上，如圖2．

∵點D（a，2a），
∴直線OD的解析式為y=2x，
∴y_M=2×4=8．
∵點A（4a，2a），
∴直線OA的解析式為y=

1

2

x，
∴y_N=

1

2

×4=2，
∴ME-NE=MN=y_M-y_N=8-2=6．

（4）當a＞4時，BD=a＞BE，
∴點E在線段BD上，如圖3，

同理可得y_M=8，y_N=2．
∴NE-ME=MN=y_M-y_N=6．
∴ME與NE之間的數(shù)量關(guān)系式為NE-ME=6．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)等知識，需要注意的是ME與NE的之間的大小關(guān)系與a的取值有關(guān)．