Question

1．如圖，C為線段AE上一點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下四個結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②△CDP≌△CEQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°．一定成立的結(jié)論有①②③④（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE；
②由△ACD≌△BCE得∠CEB=∠CDA，加之∠ACB=∠DCE=60°，可得∠PCD=60°，DC=EC，得到△CDP≌△CEQ（ASA）；
③由△CDP≌△CEQ，得到PC=QC，再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可證明；
④利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知正確．

解答 解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴①正確，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠PCD=∠QCE，
在△CDP和△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDC=∠QEC}\\{DC=EC}\\{∠PCD=∠QCE}\end{array}\right.$
∴△CDP≌△CEQ，②正確；
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE③正確，
∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)證明△CDP≌△CEQ．