Question

如圖1，矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD,使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設(shè)點B坐標為（m,0），其中m＞0.

圖2

圖1

（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；

（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

（3）如圖2，設(shè)拋物線y=a(x－m－6)²+h經(jīng)過A、E兩點，其頂點為M，連結(jié)AM，

若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.

由折疊對稱性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE.                     

在Rt△ABF中，BF=.       

∴FC=4.                                            

在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5.

∴CE=8-x=3.                                      

∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.                 

（2）分三種情形討論：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.            

若OF=AF，則m+6=10，解得m=4.                      

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，

∴（m+6）²= m²+64，解得m=.                        

綜合得m=6或4或.                             

（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).

依題意，得，

解得                                      

∴M（m+6，﹣1）.

設(shè)對稱軸交AD于G.

∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，

∴∠OAB=∠MAG.

又∵∠ABO=∠MGA=90°，

∴△AOB∽△AMG.

∴，即.

∴m=12.