Question

（2012•寶安區(qū)二模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一動(dòng)點(diǎn)．若BC=6，CE=2DE，則|PC-PA|的最大值是

3

2

．

Answer 1

分析：延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于F，求出BF=BC，EF=CE，求出DF=DE=

1

4

CF，求出PF=PC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出|PC-PA|的最大值是PA，得出P和B重合時(shí)，得出最大值是AF的長(zhǎng)，根據(jù)相似求出AF的值即可．

解答：解：延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵在△FBE和△CBE中

∠BEF=∠BEC BE=BE ∠FBE=∠CBE

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC=6，EF=EC，
∵BE⊥CF，
∴PC=PF（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），
即|PC-PA|=|PF-PA|，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得：|PF-PA|≤AF，
即當(dāng)|PC-PA|的最大值是AF，
∴當(dāng)P和B重合時(shí)，|PC-PA|=|BC-BA|=AF，
∵EF=CE，CE=2DE，
∴DF=DE=

1

2

CE=

1

4

CF，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△BFC，
∴

AF

BF

=

FD

CF

=

1

4

，
∴AF=

1

4

BC=

1

4

×6=

3

2

，
即|PC-PA|的最大值是

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出最大值是指哪一條線段的長(zhǎng)，題目具有一定的代表性，但是有一定的難度．