Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，點F在線段CD上運動，AE平分∠BAF交BC邊于點E．
（1）求證：AF=DF+BE．
（2）設DF=x（0≤x≤1），△ADF與△ABE的面積和S是否存在最大值？若存在，求出此時x的值及S．若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，
延長CB至點G，使得BG=DF，連接AG．因為ABCD是正方形，所以在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD=AB，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG．
∴Rt△ADF≌Rt△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG．
又∵AE是∠BAF的平分線
∴∠EAF=∠BAE，
∴∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE即∠EAD=∠GAE．
∵AD∥BC，
∴∠GEA=∠EAD，
∴∠GEA=∠GAE，
∴AG=GE．
即AG=BG+BE．
∴AF=DF+BE，得證．

（2）
∵AD=AB=1，
∴
由（1）知，AF=DF+BE，所以．
在Rt△ADF中，AD=1，DF=x，
∴，
∴．
由上式可知，當x²達到最大值時，S最大．而0≤x≤1，
所以，當x=1時，S最大值為．
分析：（1）作輔助線AG、BG，使得BG=DF，可以求證△ABG≌△ADF，在求證∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求證AG=EG，即求EG=DF+BE即可．
（2）列出△ADF與△ABE的面積和S的計算式，并且化簡，根據S與x的關系求最大值．
點評：本題考查的轉化思想，要把AF轉化到其全等三角形里面，根據等腰三角形腰長相等的性質求解．考查了面積計算公式，和一元二次不等式極值的計算．