Question

5．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對稱軸直線x=-1交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)K是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且S_△KAC=S_△DAC求點(diǎn)K的坐標(biāo)；
（3）如圖2若點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠DPM=30°，DP⊥DM，則點(diǎn)P的線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)不變，M點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，只需解這個(gè)方程組就可解決問題；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，連接EK交y軸于F，連接EC，如圖1，運(yùn)用割補(bǔ)法可求出△DAC的面積，易得S_△ADC=S_△AEC，由S_△KAC=S_△DAC，可得S_△KAC=S_△EAC，從而可得EK∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例可求出OF，然后運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線EK的解析式，只需求出直線EK與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)就可解決問題；
（3）設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M′，點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M″，如圖2．易證△DPC∽△DMM″，△DAC∽△DM′M″，從而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，由于∠DCP是定值，因此點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是線段M′M″，然后只需根據(jù)△DM′M″∽△DAC，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

解答 解：（1）由題意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=3}\\{-\frac{2a}=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，連接EK交y軸于F，連接EC，如圖1．

由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4可得頂點(diǎn)D為（-1，4），
∴S_△ADC=S_梯形AOHD-S_△OAC-S_△DHC
=$\frac{1}{2}$（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×（4-3）=3．
又∵S_△AEC=$\frac{1}{2}$AE•OC=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∴S_△ADC=S_△AEC．
∵S_△KAC=S_△DAC，
∴S_△KAC=S_△EAC，
∴EK∥AC，
∴$\frac{OF}{OC}=\frac{OE}{OA}$，
∴$\frac{OF}{3}=\frac{1}{3}$，
∴OF=1，F(xiàn)（0，1）．
設(shè)直線EK的解析式為y=mx+n，則有
$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線EK的解析式為y=x+1．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）；

（3）設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M′，點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M″，如圖2．

∵∠CDM″=∠PDM=90°，∠DPM=∠DCM″=30°，
∴$\frac{DM}{DP}=\frac{DM″}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠PDC=∠MDM″，
∴△DPC∽△DMM″，
∴∠DCP=∠DM″M．
同理可得△DAC∽△DM′M″，
∴∠DCA=∠DM″M′．
∴∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，
∵∠DCP是定值，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是線段M′M″．
∵△DM′M″∽△DAC，
∴$\frac{M′M″}{AC}$=$\frac{DM″}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴M′M″=$\sqrt{6}$，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、平行線分線段成比例、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用割補(bǔ)法及逆用平行等積法是解決第（2）小題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是解決第（3）小題的關(guān)鍵．