Question

17．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF，PD，若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，PD的長(zhǎng)2$\sqrt{7}$，四邊形ABEF的面積8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，從而得到∠AFB=∠FBE，再由∠ABF=∠FBE，推出∠ABF=∠AFB，于是得到AB=AF，同理得出AB=BE，四邊形ABEF是菱形，由菱形的性質(zhì)得出AE⊥BF，得到∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°從而得出AB=AE=4，AP=2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于M，得到PM=$\sqrt{3}$，AM=1，從而得到DM=5，由勾股定理求出PD、PB的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBE，
∵∠ABF=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
同理AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，△ABE為等邊三角形，
∴AB=AE=4，
∵AB=4，
∴AP=2，
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于M，如圖所示：
∴PM=$\sqrt{3}$，AM=1，
∵AD=6，
∴DM=5，
∴PD=$\sqrt{P{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
BP=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABEF的面積=2×$\frac{1}{2}$BP•AE=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$；
故答案為：2$\sqrt{7}$，8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．