Question

11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在AC邊上，AD=$\frac{3}{2}$CD，在$\widehat{BC}$上取一點E，使得∠CDE=∠ABC，連接AE，求$\frac{AE}{DE}$的值．

Answer 1

分析 連接CE，根據(jù)∠ABC=∠AEC且∠CDE=∠ABC可得∠AEC=∠EDC，可證得△ACE∽△ECD，故$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{CE}=\frac{CE}{DC}$，由AD=$\frac{3}{2}$CD可設(shè)AD=3x，分別表示出AC的長，進而表示出CE的長，可得AE：DE的值．

解答 解：如圖，連接CE，

∵$\widehat{AC}$所對的圓周角∠ABC=∠AEC，且∠CDE=∠ABC，
∴∠AEC=∠EDC，
又∵∠ACE=∠ECD，
∴△ACE∽△ECD，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{CE}=\frac{CE}{DC}$，
∵AD=$\frac{3}{2}$CD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{3}{2}$，
設(shè)AD=3x，則CD=2x，AC=5x，
則CE²=AC•DC=10x²，得：CE=$\sqrt{10}$x
故$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{CE}=\frac{5x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及圓周角定理的運用，根據(jù)圓周角定理得出兩角相等是證明三角形相似的前提，根據(jù)相似性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．