如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù) (為常數(shù))的圖象與x軸交于點A(,0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線 ( 為常數(shù),且≠0)經(jīng)過A,C兩點,并與x軸的正半軸交于點B.
(1)求的值及拋物線的函數(shù)表達式;
(2)設E是y軸右側(cè)拋物線上一點,過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積;若不存在,請說明理由;
(3)若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點,過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 ,兩點,試探究 是否為定值,并寫出探究過程.
考點:二次函數(shù)綜合題。
解答:解:(1)∵經(jīng)過點(﹣3,0),
∴0=+m,解得m=,
∴直線解析式為,C(0,).
∵拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1,且與x軸交于A(﹣3,0),∴另一交點為B(5,0),
設拋物線解析式為y=a(x+3)(x﹣5),
∵拋物線經(jīng)過C(0,),
∴=a•3(﹣5),解得a=,
∴拋物線解析式為y=x2+x+;
(2)假設存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,
則AC∥EF且AC=EF.如答圖1,
(i)當點E在點E位置時,過點E作EG⊥x軸于點G,
∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG,
又∵,∴△CAO≌△EFG,
∴EG=CO=,即yE=,
∴=xE2+xE+,解得xE=2(xE=0與C點重合,舍去),
∴E(2,),S▱ACEF=;
(ii)當點E在點E′位置時,過點E′作E′G′⊥x軸于點G′,
同理可求得E′(+1,),S▱ACE′F′=.
(3)要使△ACP的周長最小,只需AP+CP最小即可.
如答圖2,連接BC交x=1于P點,因為點A、B關于x=1對稱,根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點之間線段最短,可知此時AP+CP最。ˋP+CP最小值為線段BC的長度).
∵B(5,0),C(0,),∴直線BC解析式為y=x+,
∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3).
令經(jīng)過點P(1,3)的直線為y=kx+3﹣k,
∵y=kx+3﹣k,y=x2+x+,
聯(lián)立化簡得:x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.
∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2).
根據(jù)兩點間距離公式得到:
M1M2===
∴M1M2===4(1+k2).
又M1P===;
同理M2P=
∴M1P•M2P=(1+k2)•=(1+k2)•=(1+k2)•=4(1+k2).
∴M1P•M2P=M1M2,
∴=1為定值.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
BD |
AB |
5 |
8 |
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
5 |
29 |
5 |
29 |
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
k |
x |
k |
x |
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com