Question

（11·貴港）（本題滿分12分）．
如圖，已知直線y＝－x＋2與拋物線y＝a (x＋2) ²相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），連接PM，設(shè)線段PM的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，請(qǐng)求出l²與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點(diǎn)P，使以A、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）A的坐標(biāo)是（0，2）………………1分
拋物線的解析式是y＝ (x＋1) ²………………3分
（2）如圖，P為線段AB上任意一點(diǎn)，連接PM，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D…………4分
設(shè)P的坐標(biāo)是(x，－x＋2)，則在Rt△PDM中，
PM²＝DM²＋PD²
即l²＝(－2－x)²＋(－x＋2)²＝x²＋2x＋8………………6分
自變量x的取值范圍是：－5＜x＜0………………7分
（3）存在滿足條件的點(diǎn)P………………8分
連接AM，由題意得，AM＝＝＝2………………9分
①當(dāng)PM＝PA時(shí)，x²＋2x＋8＝x²＋(－x＋2－2)²
解得：x＝－4  此時(shí) y＝－×(－4)＋2＝4
∴點(diǎn)P₁(－4，4) ………………10分
②當(dāng)PM＝AM時(shí)，x²＋2x＋8＝(2)²
解得：x₁＝－    x₂＝0（舍去）  此時(shí) y＝－×(－)＋2＝
∴點(diǎn)P₂(－，) ………………11分
③當(dāng)PA＝AM時(shí)，x²＋(－x＋2－2)²＝(2)²
解得：x₁＝－    x₂＝（舍去）  
此時(shí) y＝－×(－)＋2＝
∴點(diǎn)P₃(－，) ………………12分
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)為P₁(－4，4)、P₂(－，)、P₃(－，)

解析