Question

如圖所示，△ABC中，BC＝4，∠B＝，AB＝3，M、N分別為AB、AC上的點，MN∥BC，并設(shè)MN＝x，△MNC的面積為S．

(1)求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)是否存在平行線段MN，使△MNC的面積等于2．若存在，求出MN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過A點作AD⊥BC，垂足為D，則有AD＝×3＝3． 　　設(shè)△MNC的邊MN上的高為h． 　　∵MN∥BC．∴＝， 　　∴h＝． 　　∴S＝MN·h＝x· 　�。剑�x2＋x(0＜x＜4)． 　　(2)若存在這樣的平行線段MN，使S△MNC＝2，則方程－x2＋x－2＝0必有實數(shù)解，即方程3x2－12x＋16＝0必有實數(shù)解．但因該方程的判別式Δ＝122－4×3×16＝－48＜0，說明它沒有實數(shù)根．矛盾！所以不存在這樣的平行線MN使S△MNC＝2．

提示：

第(1)小題求S與x的函數(shù)關(guān)系式，只需把x看作一個確定的值，在題設(shè)以及MN＝x的條件下，求△MNC的面積，得到的結(jié)果是一個含x的表達(dá)式，把x看作變量，這個表達(dá)式就是S與x的函數(shù)關(guān)系式．一般地說，在求函數(shù)關(guān)系式時，可以把自變量x看作一個確定的值，由此求出因變量y的值，得到的表達(dá)式就是y與x的函數(shù)關(guān)系式． 　　自變量x的取值范圍是使函數(shù)關(guān)系有意義的自變量的值的全體，本題中要在題設(shè)條件下構(gòu)成△MNC，x的取值范圍只能是0與4之間的一切實數(shù)． 　　第(2)小題相當(dāng)于問：是否存在x使S＝2，這就成了一個十分簡單的關(guān)于二次方程求解的問題． 　　本題不難，但涉及函數(shù)概念以及幾何、代數(shù)、三角中的多個知識點，是一道較好的綜合題．