如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點坐標(biāo)為（4，3）．動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動（點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動），過點N作NP∥AB交AC于點P，連接MP．
（1）直接寫出OA、AB的長度；
（2）試說明△CPN∽△CAB；
（3）在兩點的運動過程中，請求出△MPA的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在運動過程中，△MPA的面積S是否存在最大值？若存在，請求出當(dāng)t為何值時有最大值，并求出最大值；若不存在，請說明理由．

【答案】分析：（1）由矩形的性質(zhì)，以及B點坐標(biāo)為（4，3），可直接的出OA、AB的長度；
（2）根據(jù)過點N作NP∥AB交AC于點P，直接可得出三角形相似；
（3）用t表示出P點的坐標(biāo)，可以得出S的關(guān)系式；
（4）利用公式可直接得出當(dāng)t=-=2時，二次函數(shù)有最大值．
解答：解：（1）∵矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點坐標(biāo)為（4，3）
∴OA=4，AB=3；

（2）∵NP∥AB，
∴△CPN∽△CAB；

（3）∵P點的橫坐標(biāo)是4-t，
求出CA的直線為y=-3x/4+3，代入P的橫坐標(biāo)得到P的縱坐標(biāo)，
所以P的坐標(biāo)為（4-t，3t/4）
∴S△MPA=MA×yP÷2=×（4-t）×=-t2+t，t≤4

（4）由S關(guān)于t的函數(shù)S=-t2+t，
當(dāng)t=-=2時，二次函數(shù)有最大值=．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的最值問題，題目比較典型，是中考中熱點問題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P為x軸上的一個動點，但是點P不與點0、點A重合．連接CP，D點是線段AB上一點，連接PD．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求這時點P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•渝北區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)xoy中，以坐標(biāo)原點O為圓心，3為半徑畫圓，從此圓內(nèi)（包括邊界）的所有整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）中任意選取一個點，其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點坐標(biāo)為（4，0），D點坐標(biāo)為（0，3），則AC長為
5
5
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知點A（-5，0），P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點，PA=OA，S△PAO=10，則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，動點P從點O出發(fā)，在梯形OABC的邊上運動，路徑為O→A→B→C，到達(dá)點C時停止．作直線CP．
（1）求梯形OABC的面積；
（2）當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時，求直線CP的解析式；
（3）當(dāng)△OCP是等腰三角形時，請寫出點P的坐標(biāo)（不要求過程，只需寫出結(jié)果）．

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