Question

如圖，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=

1

3

x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO=45°時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA由C向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC由B向C運(yùn)動(dòng)，P、Q的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，試問在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使P、Q運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,菱形的性質(zhì),解直角三角形

專題：壓軸題

分析：（1）首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）滿足條件的點(diǎn)M有兩種情形，需要分類討論：
①當(dāng)BM⊥BC時(shí)，如答圖2-1所示；
②當(dāng)BM與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，如答圖2-2所示．
（3）△CPQ的三邊均可能成為菱形的對(duì)角線，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行分類討論：
①若以CQ為菱形對(duì)角線，如答圖3-1．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=t；
②若以PQ為菱形對(duì)角線，如答圖3-2．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=t；
③若以CP為菱形對(duì)角線，如答圖3-3．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=5-t．

解答：解：（1）直線解析式y(tǒng)=x-4，
令x=0，得y=-4；
令y=0，得x=4．
∴A（4，0）、B（0，-4）．
∵點(diǎn)A、B在拋物線y=

1

3

x²+bx+c上，
∴

16 3 +4b+c=0 c=-4

，
解得

b=- 1 3 c=-4

，
∴拋物線解析式為：y=

1

3

x²-

1

3

x-4．
令y=

1

3

x²-

1

3

x-4=0，
解得：x=-3或x=4，
∴C（-3，0）．

（2）∠MBA+∠CBO=45°，
設(shè)M（x，y），
①當(dāng)BM⊥BC時(shí)，如答圖2-1所示．
∵∠ABO=45°，
∴∠MBA+∠CBO=45°，故點(diǎn)M滿足條件．
過點(diǎn)M₁作M₁E⊥y軸于點(diǎn)E，則M₁E=x，OE=-y，
∴BE=4+y．
∵tan∠M₁BE=tan∠BCO=

4

3

，
∴

x

4+y

=

4

3

，
∴直線BM₁的解析式為：y=

3

4

x-4．
聯(lián)立y=

3

4

x-4與y=

1

3

x²-

1

3

x-4，
得：

3

4

x-4=

1

3

x²-

1

3

x-4，
解得：x₁=0，x₂=

13

4

，
∴y₁=-4，y₂=-

25

16

，
∴M₁（

13

4

，-

25

16

）；

②當(dāng)BM與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，如答圖2-2所示．
∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，
∴∠MBA+∠CBO=45°，
故點(diǎn)M滿足條件．
過點(diǎn)M₂作M₂E⊥y軸于點(diǎn)E，
則M₂E=x，OE=y，
∴BE=4+y．
∵tan∠M₂BE=tan∠CBO=

3

4

，
∴

x

4+y

=

3

4

，
∴直線BM₂的解析式為：y=

4

3

x-4．
聯(lián)立y=

4

3

x-4與y=

1

3

x²-

1

3

x-4得：

4

3

x-4=

1

3

x²-

1

3

x-4，
解得：x₁=0，x₂=5，
∴y₁=-4，y₂=

8

3

，
∴M₂（5，

8

3

）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（

13

4

，-

25

16

）或（5，

8

3

）．

（3）設(shè)∠BCO=θ，則tanθ=

4

3

，sinθ=

4

5

，cosθ=

3

5

．
假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)D，設(shè)菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
①若以CQ為菱形對(duì)角線，如答圖3-1．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=t．
∴CE=

1

2

CQ=

1

2

（5-t）．
在Rt△PCE中，cosθ=

CE

CP

=

1 2 (5-t)

t

=

3

5

，
解得t=

25

11

．
∴CQ=5-t=

30

11

．
過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于點(diǎn)F，
則QF=CQ•sinθ=

24

11

，CF=CQ•cosθ=

18

11

，
∴OF=3-CF=

15

11

．
∴Q（-

15

11

，-

24

11

）．
∵點(diǎn)D₁與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)相差t個(gè)單位，
∴D₁（-

40

11

，-

24

11

）；

②若以PQ為菱形對(duì)角線，如答圖3-2．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=t．
∵BQ=CQ=t，
∴t=

5

2

，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，
∴Q（-

3

2

，-2）．
∵點(diǎn)D₂與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)相差t個(gè)單位，
∴D₂（1，-2）；
③若以CP為菱形對(duì)角線，如答圖3-3．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=5-t．
在Rt△CEQ中，cosθ=

CE

CQ

=

1 2 t

5-t

=

3

5

，
解得t=

30

11

．
∴OE=3-CE=3-

1

2

t=

18

11

，D₃E=QE=CQ•sinθ=（5-

30

11

）×

4

5

=

20

11

．
∴D₃（-

18

11

，

20

11

）．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)D，點(diǎn)D坐標(biāo)為：（-

40

11

，-

24

11

）或（1，-2）或（-

18

11

，

20

11

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形（或相似）、菱形、一次函數(shù)、解方程等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．第（3）問為存在型與運(yùn)動(dòng)型的綜合問題，涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，注意按照菱形對(duì)角線進(jìn)行分類討論，做到條理清晰、不重不漏．