Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，E為BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC=BC，判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,正方形的判定

專題：

分析：（1）連接OD、CD，結(jié)合AC為直徑可得到∠CDB=90°，E為中點，可得到ED=CE，再利用角的和差可求得∠ODE=90°，可得DE為切線；
（2）由條件可得∠ODA=∠A=45°，可求得∠COD=∠ODE=∠ACB=90°，且OC=OD，可知四邊形ODEC為正方形．

解答：（1）證明：如圖，連接OD、CD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，
∵E為BC的中點，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠OCD+∠ECD=∠ODC+∠EDC=90°，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，
又∵D在圓O上，
∴DE與圓O相切；
（2）解：若AC=BC，四邊形ODEC為正方形，
理由：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=45°，
∴∠COD=∠A+∠ODA=90°，
∵四邊形ODEC中，∠COD=∠ODE=∠ACB=90°，且OC=OD，
∴四邊形ODEC為正方形．

點評：本題主要考查切線的判定及正方形的判定，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，在判定四邊形為正方形時注意方法的選擇，可以先證明是菱形再證明矩形，也可以先證明是矩形再證明菱形．