Question

已知線段OA⊥OB，C為OB上中點(diǎn)，D為AO上一點(diǎn)，連AC、BD交于P點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB且D為AO中點(diǎn)時，求的值；
（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，時，求tan∠BPC．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作BO的平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△ADE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根據(jù)C是BO的中點(diǎn)，可以求出PE：PC=1：2，再根據(jù)三角形中位線定理，E是AC的中點(diǎn)，利用比例變形求出AP與PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=AC，再過D作DF⊥AC于F，設(shè)AD為a，利用勾股定理求出AC等于2 a，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出DF、AF的值，而PF=AC-AF-PC，也可求出，又∠BPC與∠FPD是對頂角，所以其正切值便可求出．
解答：解：（1）過D作DE∥CO交AC于E，
∵D為OA中點(diǎn)，∴AE=CE=，，
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴BC=CO，，
∴，
∴PC==，
∴=2；

（2）過點(diǎn)D作DE∥BO交AC于E，
∵，∴==，
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，∴，
∴，∴PC==，
過D作DF⊥AC，垂足為F，設(shè)AD=a，則AO=4a，
∵OA=OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC===2 a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，
∴AF=，DF=，
PF=AC-AF-PC=2 a--=，
tan∠BPC=tan∠FPD==．
點(diǎn)評：本題難度較大，需要對平行線分線段成比例定理靈活運(yùn)用，根據(jù)勾股定理構(gòu)造出直角三角形并求出其直角邊的長，準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，也是求解的難點(diǎn)，這就要求同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中對公式定理要熟練掌握并靈活運(yùn)用，不斷提高自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力．