Question

如圖，AD為△ABC的中線，E為AD上一點，BE=AC，BE的延長線交AC于F，F(xiàn)G⊥AD于G．求證：AG=EG．

Answer 1

證明：如圖，過BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，
∵AD為△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△BDM和△CDN中，，
∴△BDM≌△CDN（AAS），
∴BM=CN，
在Rt△ACN和Rt△EBM中，，
∴Rt△ACN≌Rt△EBM（HL），
∴∠CAN=∠BEM，
∵∠AEF=∠BEM，
∴∠CAN=∠AEF，
∴AF=EF，
∵FG⊥AD，
∴AG=EG（等腰三角形三線合一）．
分析：過BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，根據(jù)三角形的中線的定義可得BD=CD，然后利用“角角邊”證明△BDM和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BM=CN，再利用“HL”證明△ACN和△EBM全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CAN=∠BEM，然后求出∠CAN=∠AEF，根據(jù)等角對等邊可得AF=EF，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難點在于作出輔助線并兩次證明三角形全等．