Question

（2013年四川攀枝花4分）如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：

①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=BD

其中正確結(jié)論的為　  　（請將所有正確的序號都填上）．

 

 

Answer 1

【答案】

①③④。

【解析】∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC。

∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC。

∵F為AB的中點，∴AB=2AF。∴BC=AF。∴△ABC≌△EFA（SAS）�！郌E=AB。

∴∠AEF=∠BAC=30°。∴EF⊥AC。故①正確。

∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC。

∵F是AB的中點，∴HF=BC。

∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD。故④說法正確。

∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°。

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF。

∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°。∴∠BDF=∠AEF�！唷鱀BF≌△EFA（AAS）。∴AE=DF。

∵FE=AB，∴四邊形ADFE為平行四邊形。

∵AE≠EF，∴四邊形ADFE不是菱形。故②說法不正確。

∵四邊形ADFE為平行四邊形，∴AG=AF�！郃G=AB。

∵AD=AB，∴AD=AG，即AD=4AG。故③說法正確。

綜上所述，正確結(jié)論的為①③④。

考點：等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。