Question

（2012•建寧縣質(zhì)檢）如圖：△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB與AC、AE分別交于點(diǎn)O、E，連接EC．
（1）求證：AD=EC；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形；
（3）在（2）的條件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先證明四邊形ABDE是平行四邊形，可得AE=BD，再根據(jù)DC=DB可得AE=DC，進(jìn)而證出四邊形ADCE是平行四邊形，可得AD=EC；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，可證出AD=DC，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得四邊形ADCE是菱形；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算出AO=DE=2DO=2a，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得到菱形ADCE的周長(zhǎng)．

解答：證明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE=BD，
∵D是BC中點(diǎn)，
∴DC=DB，
∴AE=DC，AE∥DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AD=EC；

（2）∵當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AD是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴AD=

1

2

BC=CD，
∴四邊形ADCE是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

（3）∵四邊形ADCE是菱形，
∴對(duì)角線AC⊥DE且O是DE中點(diǎn)，
∵ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE，
又已知AB=AO
∴AO=DE=2DO=2a，
在Rt△AOD中，可求出AD=

5

a，
∴菱形ADCE的周長(zhǎng)為4

5

a．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法與性質(zhì)定理．