Question

5．如圖，AC是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是$\widehat{CD}$的中點，連接AE交BC于點F，∠ABC=2∠EAC．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若tanB=$\frac{4}{3}$，BD=6，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由E是$\widehat{CD}$的中點，得到∠EAC=∠EAD，由于∠ABC=2∠EAC，則∠ABC=∠DAC，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠DAC+∠ACB=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AB是⊙O的切線；
（2）作FH⊥AC于H，如圖，利用余弦定義，在Rt△ABD中可計算出AD=8，利用勾股定理求得AB=10，在Rt△ACB中可計算出AC=$\frac{40}{3}$，根據(jù)勾股定理求得BC=$\frac{50}{3}$，則，CD=BC-BD=$\frac{32}{3}$，接著根據(jù)角平分線性質(zhì)得FD=FH，于是設(shè)CF=x，則DF=FH=$\frac{32}{3}$-x，然后利用平行線得性質(zhì)由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosB=$\frac{3}{5}$=$\frac{FH}{CF}$，再利用比例性質(zhì)可求出CF．

解答 （1）證明：連接AD，∵AC是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵E是$\widehat{CD}$的中點，
∴∠EAC=∠EAD，
∴∠DAC=2∠EAC，
∵∠ABC=2∠EAC，
∴∠ABC=∠DAC，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
∴CA⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：作FH⊥AC于H，如圖，
在Rt△ABD中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{3}$，BD=6，
∴AD=8，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=10，
在Rt△ACB中，∵tanB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴AC=$\frac{4}{3}$×10=$\frac{40}{3}$，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{50}{3}$，
∴CD=BC-BD=$\frac{50}{3}$-6=$\frac{32}{3}$，
∵∠EAC=∠EAD，即AF平分∠CAD，
而FD⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，
∴FD=FH，
設(shè)CF=x，則DF=FH=$\frac{32}{3}$-x，
∵FH∥AC，
∴∠HFC=∠B，
在Rt△CFH中，∵tan∠CFH=tanB=$\frac{4}{3}$=$\frac{CH}{FH}$，
∴$\frac{FH}{CF}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{\frac{32}{3}-x}{x}$，解得x=$\frac{20}{3}$，
即CF的長為$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了解直角三角形．