Question

【題目】如圖，⊙O的圓心O在△ABC的邊AC上，AC與⊙O分別交于C，D兩點，⊙O與邊AB相切，且切點恰為點B．

（1）求證：∠A+2∠C＝90°；

（2）若∠A＝30°，AB＝6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3+2π．

【解析】

（1）連接OB，如圖，利用切線的性質得∠OBA＝90°，則∠A+∠AOB＝90°，然后利用圓周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代換可得到結論；

（2）先計算出∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂徑定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°計算出OH＝，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積＝S△OBC+S扇形BOD計算．

（1）證明：連接OB，如圖，

∵O與邊AB相切，且切點恰為點B．

∴OB⊥AB，

∴∠OBA＝90°，

∴∠A+∠AOB＝90°，

∵∠AOB＝2∠C，

∴∠A+2∠C＝90°；

（2）解：在Rt△AOB中，

∵∠A＝30°，

∴∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，

作OH⊥BC于H，

則BH＝CH，

∵∠C＝∠AOB＝30°，

∴OH＝OC＝，CH＝OH＝3，

∴BC＝2CH＝6，

∴圖中陰影部分的面積＝S△OBC+S扇形BOD

＝×6×+

＝3+2π．