Question

16．如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠DAB=∠EAC=90°，DC與BE交于P．
求證：PA是∠DPE的平分線．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥DC，AN⊥BE，垂足分別為M，N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，則∠BAE=∠DAC，于是可根據(jù)“SAS”判斷△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等得到AN=AM，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到PA是∠DPE的平分線．

解答 證明：過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥DC，AN⊥BE，垂足分別為M，N，如圖，
∵△ABD和△ACE都為等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴AN=AM，
∴PA是∠DPE的平分線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．解決本題的關(guān)鍵是證明A點(diǎn)到∠DPE的兩邊的距離相等．