【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),二次函數(shù)y=x2+c的圖象拋物線交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3).

(1)求ABC的度數(shù);

(2)若點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),ADC的面積為,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)若將OBC繞平面內(nèi)某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到O′B′C′,點(diǎn)O′,B′均落在此拋物線上,求此時(shí)O′的坐標(biāo).

【答案】(1)ABC=60°;(2)D ,).(3)O′(﹣,﹣).

【解析】

試題分析:(1)通過求函數(shù)解析式,求出相應(yīng)線段的長度,觀察AC=2OA,進(jìn)而求出ABC度數(shù);

(2)通過觀察三角形ADC面積與三角形AOC面積相等,可以判斷直線ODAC,求出直線與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)D;

(3)利用拋物線解析式設(shè)出O′,通過旋轉(zhuǎn)60°,求出點(diǎn)B′的坐標(biāo),將點(diǎn)B′代入拋物線解析式即可求出.

解:(1)由題意與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),

得解析式為y=x2﹣3,

令y=0,x=±,

B,0),A(﹣,0),

OA=,OC=3,AC=2

∴∠OCA=30°,

∴∠ABC=60°

(2)由(1)得:OA=,OC=3,

SOAC=×3×=,

過原點(diǎn)與AC平行的直線y=﹣

直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)D,

聯(lián)立:,

解得x1=,x2=(舍去),

D ,).

(3)設(shè)點(diǎn)O′(m,m2﹣3),

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

則點(diǎn)B′(m+,m2),

(m+)﹣3=m2,

m=,

O′(﹣,﹣).

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