Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，∠A，P是BC邊上的一點(diǎn)，，是點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.

①若，求的度數(shù)；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A與的數(shù)量關(guān)系：___________________________；

（2）如圖2，在△ABC中，若∠BAC，用三角板作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），試判斷點(diǎn)，與點(diǎn)A是否在同一直線上，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）64°；（2）∠DPE=180°-2∠A；（3）在．

【解析】（1）①由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和為360°可得：∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°（i），由三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和為180°得到2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°（ii），解方程組即可得到結(jié)論

（2）由①得∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°（i），2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180° （ii），解方程組即可得到結(jié)論．

（3）連接AP、AP1、AP2．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得：∠4=∠1，∠3=∠2， 由∠BAC=90°，得到∠3+∠4=90°，即有∠1+∠2+∠3+∠4=180°，從而得到結(jié)論．

（1）①∵點(diǎn)P、點(diǎn)P1關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P、點(diǎn)P2關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，∴PD=P1D，PE=P2E，∴∠P1=∠DPP1，∠P2=∠EPP2，∴∠EDP=2∠DPP1，∠DEP=2∠EPP2，∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°（i）

∵2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180° （ii）

（ii）—（i）得：∠DPP1+∠EPP2=∠A，

又∵∠A=58°，∴∠DPP1+∠EPP2=58°，

∴∠DPE=64°

（2）∠DPE=180°－2∠A ．理由如下：

由①得：∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°（i）

2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180° （ii）

（i）×2－（ii）得：2∠A－∠DPE=180°，

∴∠DPE=180°－2∠A ．

（3）點(diǎn)P1，A，P2在同一條直線上．理由如下：

連接AP、AP1、AP2．

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得：∠4=∠1，∠3=∠2，

∵∠BAC=90°，即∠1+∠2=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

即∠P1AP2=180°，

∴點(diǎn)P1 、A、P2在同一條直線上．