Question

19．閱讀下列材料：
我們知道|x|的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：|x₁-x₂|表示在數(shù)軸上數(shù)x₁，x₂對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．在解題中，我們會(huì)常常運(yùn)用絕對值的幾何意義．
例1：解方程|x|=2．
分析：由絕對值的幾何意義知，該方程表示：求在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，故該方程的解為：x=±2；
例2：解方程|x-1|+|x+2|=5．
分析：由絕對值的幾何意義知，該方程表示：求在數(shù)軸上與1和-2的距離之和為5的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，而在數(shù)軸上，1和-2的距離為|1-（-2）|=3，滿足方程的x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或-2的左邊，若x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，由圖可知看出x=2；同理，若x對應(yīng)點(diǎn)在-2的左邊，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程|x-1|=2的解為x₁=-1，x₂=3．
（2）方程|x-2|+|x+3|=7的解為x₁=-5，x₂=3．
（3）如圖，數(shù)軸的原點(diǎn)為O，點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為1，AB=6，BC=2，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒2個(gè)長度單位和每秒1個(gè)長度單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）
①求點(diǎn)A、C分別對應(yīng)的數(shù)；
②求點(diǎn)P、Q分別對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；
③試問當(dāng)t為何值時(shí)，OP=OQ？

Answer 1

分析 （1）分類討論：x＜1，x≥1，可化簡絕對值，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）分類討論：x＜-3，-3≤x＜2，x≥2，根據(jù)絕對值的意義，可化簡方程，根據(jù)解方程，可得答案．
（3）①根據(jù)點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為1，AB=6，BC=2，得出點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是1-6=-5，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是1+2=3．
②根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒2個(gè)單位和1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，表示出移動(dòng)的距離，即可得出對應(yīng)的數(shù)；
③分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q在同側(cè)時(shí)，根據(jù)OP=OQ，分別列出方程，求出t的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，原方程等價(jià)于-x+1=2．解得x=-1；
當(dāng)x≥1時(shí)，原方程等價(jià)于x-1=2，解得x=3，
故答案為：x₁=-1，x₂=3；
（2）當(dāng)x＜-3時(shí)，原方程等價(jià)于2-x-x-3=7，解得x=-4，
當(dāng)-3≤x＜2時(shí)，原方程等價(jià)于2-x+x+3=7，不存在x的值；
當(dāng)x≥2時(shí)，原方程等價(jià)于x-2+x+3=7，解得x=3，
故答案為x₁=-5，x₂=3．
（3）①∵點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為1，AB=6，BC=2，
∴點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是1-6=-5，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是1+2=3．
②∵動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒2個(gè)單位和1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是-5+2t，
點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)是3+t；
③當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，若OP=OQ，則5-2t=3+t，
解得：t=$\frac{2}{3}$；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q在同側(cè)時(shí)，若OP=OQ，則-5+2t=3+t，
解得：t=8；
所以，當(dāng)t為$\frac{2}{3}$或8時(shí)，OP=OQ．

點(diǎn)評 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動(dòng)與點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系和分類討論思想的運(yùn)用．