Question

當m為整數(shù)時，關于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

當m為整數(shù)時，關于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0沒有有理根．理由如下：
①當m為整數(shù)時，假設關于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0有有理根，則要△=b²-4ac為完全平方數(shù)，而△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4，
設△=n²（n為整數(shù)），即（2m-1）²+4=n²（n為整數(shù)），所以有（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，
∵2m-1與n的奇偶性相同，并且m、n都是整數(shù)，所以

2m-1-n=2 2m-1+n=-2

或

2m-1-n=-2 2m-1+n=2

，
解得m=

1

2

或m=-

1

2

（都不合題意舍去）．
②2m-1=0時，m=

1

2

（不合題意舍去）．
所以當m為整數(shù)時，關于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0沒有有理根．