Question

【題目】（背景知識(shí)）

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)有許多重要的規(guī)律:

例如，若數(shù)軸上點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別為、，則、兩點(diǎn)之間的距離，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．

（問題情境）

在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為-20，點(diǎn)表示的數(shù)為10，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)到4秒鐘時(shí)，、兩點(diǎn)相遇，且動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的速度之比是（速度單位:單位長(zhǎng)度/秒）．

備用圖

（綜合運(yùn)用）

（1）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為______單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為______單位長(zhǎng)度/秒；

（2）當(dāng)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（3）若點(diǎn)、在相遇后繼續(xù)以原來的速度在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)的方向不限，我們發(fā)現(xiàn):隨著動(dòng)點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)，線段的中點(diǎn)也隨著運(yùn)動(dòng)．問點(diǎn)能否與原點(diǎn)重合？若能，求出從、相遇起經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，并直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為4.5單位長(zhǎng)度/秒，動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為3單位長(zhǎng)度/秒；（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或秒；（3）點(diǎn)M能與原點(diǎn)重合，它沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為或沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度分別為3x單位長(zhǎng)度/秒，Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為2x單位長(zhǎng)度/秒．根據(jù)“運(yùn)動(dòng)到4秒鐘時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇”列方程，求解即可；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．點(diǎn)P表示的數(shù)為－20＋4.5t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為10－3t，根據(jù)“PQ=AB”，列方程，求解即可；

（3）先求出P、Q相遇點(diǎn)表示的數(shù)，設(shè)從P、Q相遇起經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PQ的中點(diǎn)M與原點(diǎn)重合，求出P、Q此時(shí)表示的數(shù)．然后分四種情況列方程，求解即可．

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度分別為3x單位長(zhǎng)度/秒，Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為2x單位長(zhǎng)度/秒．根據(jù)題意得：

4×3x＋4×2x=30，（或－20＋4×3x=10－4×2x）

解得：x=1.5．

3x=4.5（單位長(zhǎng)度/秒），2x=3（單位長(zhǎng)度/秒）．

答：動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為4.5單位長(zhǎng)度/秒，動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為3單位長(zhǎng)度/秒．

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

由題意知：點(diǎn)P表示的數(shù)為－20＋4.5t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為10－3t，根據(jù)題意得：

|（－20＋4.5t）－（10－3t）|=×|（－20）－10|

整理得：|7.5t－30|=10

7．5t－30=10或7.5t－30=－10

解得：t=或t=．

答：運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或秒．

（3）P、Q相遇點(diǎn)表示的數(shù)為－20＋4×4.5=－2（注：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)M也與P、Q兩點(diǎn)重合）

設(shè)從P、Q相遇起經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M與原點(diǎn)重合．

①點(diǎn)P、Q均沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，則：

解得：t=．

此時(shí)點(diǎn)M能與原點(diǎn)重合，它沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為2÷（單位長(zhǎng)度/秒）；

②點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則：

解得：t=．

此時(shí)點(diǎn)M能與原點(diǎn)重合，它沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為2÷=（單位長(zhǎng)度/秒）；

③點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，則：

解得：t=－（舍去）．

此時(shí)點(diǎn)M不能與原點(diǎn)重合；

④點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則：

解得：t=－（舍去）．

此時(shí)點(diǎn)M不能與原點(diǎn)重合．

綜上所述：點(diǎn)M能與原點(diǎn)重合，它沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為或沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為．