Question

（2012•臨沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90°；
（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°；
（2）由∠BMC=90°，易證得△ABM∽△DMC，設(shè)AM=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得方程：x²-bx+a²=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；
（3）由（2），當(dāng)b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x²-bx+a²=0的根的情況，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．

（2）解：存在，
理由：若∠BMC=90°，
則∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴

AM

CD

=

AB

DM

，
設(shè)AM=x，則

x

a

=

a

b-x

，
整理得：x²-bx+a²=0，
∵b＞2a，a＞0，b＞0，
∴△=b²-4a²＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，
∴當(dāng)b＞2a時(shí)，存在∠BMC=90°，

（3）解：不成立．
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x²-bx+a²=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，
∴△=b²-4a²＜0，
∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及一元二次方程的性質(zhì)．此題難度較大，解此題的關(guān)鍵是利用相似的性質(zhì)構(gòu)造方程，然后利用判別式求解．