Question

10．如圖，AB切⊙O于點B，AC交⊙O于點M、N，若四邊形OABN恰為平行四邊形，且弦BN的長為10cm．
（1）求⊙O的半徑長及圖中陰影部分的面積S．
（2）求MN的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由AB是⊙O的切線，得出OB⊥AB，由四邊形OABN是平行四邊形，得出AB∥ON，證出△OBN為等腰直角三角形，即可解得OB及S_陰影=S_扇形-S_△OBN；
（2）過點O作OH⊥AC，垂足為H，AC與OB的交點為G，∠OHN=∠NOG=90°，證得△ONH∽△GNO，得出$\frac{HN}{ON}$=$\frac{ON}{GN}$，求得OG=BG=$\frac{1}{2}$OB、GN、HN，即可得出結果．

解答 解：（1）連接OB，則OB=ON，如圖1所示：
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵四邊形OABN是平行四邊形，
∴AB∥ON，
∴∠OBA=∠BON=90°，
∴△OBN為等腰直角三角形，
∵BN=10，
∴OB=5$\sqrt{2}$，
∴S_陰影=S_扇形-S_△OBN=$\frac{90}{360}$×（5$\sqrt{2}$）²π-$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=$\frac{25}{2}$π-25；
（2）過點O作OH⊥AC，垂足為H，AC與OB的交點為G，如圖2所示
∴∠OHN=∠NOG=90°，
∵∠ONH=∠ONG，
∴△ONH∽△GNO，
∴$\frac{HN}{ON}$=$\frac{ON}{GN}$，
∵四邊形OABN是平行四邊形，
∴OG=BG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴GN=$\sqrt{O{N}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（\frac{5}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{10}$，
∴HN=$\frac{O{N}^{2}}{GN}$=$\frac{（5\sqrt{2}）^{2}}{\frac{5}{2}\sqrt{10}}$=2$\sqrt{10}$，
∴MN=4$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了切線的性質、平行四邊形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、扇形的面積與三角形面積的計算等知識；證明三角形相似，由勾股定理求出GN是解決問題的突破口．