Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF，∠BAC=∠DCA．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

Answer 1

分析 首先得出△AEF≌△CFE（AAS），進而求出AO=CO，再利用全等三角形的判定方法得出△ABO≌△CDO（ASA），進而得出AB=DC，再由AB∥DC得出答案．

解答 證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF=∠CFO，
在△AEF和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{∠FEA=∠CFO}\\{AE=FC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CFE（AAS），
∴AO=CO，
在△ABO和△CDO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}\\{AO=CO}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB=DC，
∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定等知識，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．