Question

14．已知：如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，在CD的延長線上任取一點F，連AF交圓于E，連接DE，CE．求證：
（1）AC=AD；      
（2）∠AEC=∠DEF．

Answer 1

分析 （1）連接AC與AD，利用垂徑定理及圓的性質(zhì)只需證明AC=AD即可（2）由（1）可知∠AEC=∠ACD、∠ADC=∠ACD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠DEF=∠ACD
再根據(jù)等量代換即可得到證明．

解答 證明：（1）連接AC，

∵線段AB與線段CD分別是⊙O的直徑和弦，且AB⊥CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠AEC=∠ACD，
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC}$
∴∠ADC=∠AEC（同弧所對的圓周角相等）
∴∠ADC=∠ACD
∴AC=AD（等角對等邊）
（2）∵四邊形ACDE內(nèi)接于⊙O，
∴∠DEF=∠ACD（圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角）
又由（1）可知∠ADC=∠ACD
∴∠ADC=∠DEF  
又∵∠ADC=∠AEC（同弧所對的圓周角相等）
∴∠AEC=∠DEF

點評 本題考查了垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)意義．