Question

【題目】是等腰直角三角形，點為線段上一點(點不和兩點重合)，連接并延長，在的延長線上找一點，使．點為線段上一點(點不和兩點重合)，連接，交于點．

(1)如圖1，若是線段的中點，求．

(2)如圖2，若點是線段的中點，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到根據(jù)線段的中點的定義得到，由勾股定理得到結(jié)論；
（2）過A作AH∥CD交BD于H，得到∠AHD=∠CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=EH，AH=CD，推出四邊形AHCD是矩形，得到∠HAD=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=CF，由線段的和差得到結(jié)論．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∵CD=1，

∴

∵F是線段AD的中點，

∴

（2）過A作AH∥CD交BD于H，
∴∠AHD=∠CDH，
∵點E是線段AC中點，
∴AE=CE，

在△AEH與△CED中，

∴△AEH≌△CED（AAS），
∴DE=EH，AE=CE，
∴四邊形AHCD是平行四邊形，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形AHCD是矩形，
∴∠HAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠FAC，
∵DE⊥CF，
∴∠DFG=∠CDG，
∴∠AHE=∠DFG，
∴∠AHB=∠AFC，

在△ABH與△ACF中

∴△ABH≌△ACF（AAS），
∴BH=CF，
∵BE=BH+EH，
∴CF+DE=BE．