Question

【題目】已知頂點為A的拋物線y=a(x- )2-2經過點B(- ，2)，點C(，2)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，直線AB與x軸相交于點M，與y軸相交于點E，拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一點P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；

(3)如圖2，點Q是折線A﹣B﹣C上一點，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點N1落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）點Q的坐標為 或（ ）或（）.

【解析】

（1）把點B(- ，2)代入，求得 a的值即可；

（2）由已知可求得直線AB的解析式為:y=-2x-1，根據解析式易求E(0,-1), F(0, ),M(,0) ,由△OPE∽△FAE,繼而求得OP的長，設點P(t,-2t-1)，可得關于t的方程，解方程求得t的值，根據對稱性可知方程的解都滿足條件，由此即可得；

（3）若Q在AB上，點Q在BC上，且Q在y軸左側，Q在BC上，且Q在y軸右側，三種情況分別討論即可得.

（1）把點B(- ，2)代入，解得 a=1

拋物線的解析式為：，

即;

（2）由（1）可得點A的坐標為(,-2)

設直線AB解析式為：y=kx+b,代入點A,B的坐標得：

，解得：

直線AB的解析式為：y=-2x-1

易求得E(0,-1), F(0, ),M(,0)，

若∠OPM=∠MAF,

當OP∥AF時，則有△OPE∽△FAE

，

，

設點P(t,-2t-1)，則

解得:

由對稱性知；當時，也滿足∠OPM=∠MAF，

都滿足條件，

△POE的面積=,

△POE的面積為或；

（3）若Q在AB上運動，如圖：設Q(a,-2a-1),則QN=-2a,NE=-a, =-2a

易知△∽△，

若Q在BC上運動，且Q在y軸左側，如圖：NE=a, ,

易知：

Rt△中,

;

若Q在BC上運動，且Q在y軸右側，如圖：NE=a, ,

易知：

Rt△中,

;

綜上所述Q點的坐標為：.