Question

正方形ABCD中，E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，連接AE，過B點(diǎn)作BF⊥AE，交CD于F點(diǎn)，交AE于G點(diǎn)，連接GD，過A點(diǎn)作AH⊥GD交GD于H點(diǎn)．

(1) 求證：△ABE≌△BCF；
(2) 若正方形邊長(zhǎng)為4，AH =，求△AGD的面積．

Answer 1

（1）見解析（2）

證明：(1) 正方形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠1+∠2 = 90°，
又AE⊥BF，
∴∠3+∠2 = 90°，
則∠1=∠3            
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，
    ∴△ABE≌△BCF(ASA) ··················· ·5分
(2) 延長(zhǎng)BF交AD延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，∴∠MDF=90°
由 (1) 知 △ABE≌△BCF，∴CF = BE
∵E點(diǎn)是BC中點(diǎn)，∴BE =BC，即CF =CD = FD，
在△BCF和△MDF中，
    ∴△BCF≌△MDF(ASA) 
∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中點(diǎn)························· 9分
又AG⊥GM，即△AGM為直角三角形，
∴GD =AM = AD
又正方形邊長(zhǎng)為4，∴GD = 4
S_△AGD=GD·AH=×4×=   12分
（1）易得∠1=∠3，這兩個(gè)三角形中都有一個(gè)角是直角，加上正方形的邊長(zhǎng)相等，利用角邊角可得這兩個(gè)三角形全等；
（2）求得DG的長(zhǎng)就可以求得△AGD的面積．易得F為CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可構(gòu)造出△BCF≌△MDF，那么可得DM=BC=AD，就可以求得GD的長(zhǎng)，也就求得了△AGD的面積