Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC、∠ACB的平分線，BE、CF相交于點D．
（1）求∠FDE的度數；（2）求證：FD=ED．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的內角和定理，得出∠EBC+∠FCB=60°，在△DBC中，即可求出∠BDC=120°，根據對頂角相等即可求出∠FDE的度數，
（2）作輔助線在CB上截取CG=CE，可證出△CED≌△CGD（SAS），即可得出∠EDC=∠GDC，ED=GD，再根據（1）中的條件可證出△BFD≌△BGD，即可得出FD=ED．
解答：（1）解：由三角形內角和定理，在△ABC中，
2∠EBC+2∠FCB+60°=180°，
解得∠EBC+∠FCB=60°，
在△DBC中，∠BDC=180°-（∠EBC+∠FCB）=180°-60°=120°，
∴∠FDE=∠BDC=120°，

（2）證明：在CB上截取CG=CE，由∠ECD=∠GCD，DC=DC，
得：△CED≌△CGD（SAS），
∴∠EDC=∠GDC，ED=GD，
由（1）知∠BDG+∠GDC=120°，
又∵∠BDG+2∠GDC=180°，
解得：∠BDG=∠GDC=∠EDC=60°
在△BFD和△BGD中，∠FBD=∠GBD，∠FDB=∠GDB=60°，BD=BD，
∴△BFD≌△BGD，
∴FD=DG，
∴FD=ED．
點評：本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，以及全等三角形的性質，難度適中．