【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC=∠BAC．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC，利用等邊對等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代換得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，得到AD與OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF為圓O的切線；

（2）由∠ACD的度數(shù)求出∠OCA為60°，確定出三角形AOC為等邊三角形，由半徑為2求出AC的長，在直角三角形ACD中，由30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，再利用勾股定理求出CD的長，由扇形AOC面積減去三角形AOC面積求出弓形的面積，再由三角形ACD面積減去弓形面積即可求出陰影部分面積．

（1）連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

則EF為圓O的切線；

（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠OCA=60°，

∴△AOC為等邊三角形，

∴AC=OC=OA=2，

在Rt△ACD中，∠ACD=30°，

∴AD=AC=1，根據(jù)勾股定理得：CD=，

∴S陰影=S△ACD-（S扇形AOC-S△AOC）=×1×-（）=．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[知識背景]：

數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點(diǎn)的距離AB＝|a﹣b|，A、B的中點(diǎn)P表示的數(shù)為．

[知識運(yùn)用]：

已知式子（a+4）x3+2x2﹣x+3是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，且二次項(xiàng)系數(shù)為b，且a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B（如圖1），解答下列問題：

（1）a＝　 　，b＝　 　，AB＝　 　；

（2）若點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的長度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，t秒后到達(dá)原點(diǎn)O，求t的值；

（3）若點(diǎn)A，B都以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)M和點(diǎn)N，而O點(diǎn)不動，經(jīng)過t秒后，M，O，N三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)，求此時(shí)t的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC中，∠A=45°，D是AC邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過D、A、B三點(diǎn)，OD∥BC．

（1）求證：BC與⊙O相切；

（2）若OD=15，AE=7，求BE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】觀察下列每一列數(shù)，按規(guī)律填空

（1） ， ，……

（2） ， ，……

（3） ， ，……

（4）在(1)列數(shù)中第100個(gè)數(shù)是 ，在（2）列數(shù)中第200個(gè)數(shù)是 ，在（3）列數(shù)中第199個(gè)數(shù)是 。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線y＝－x2－x＋與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)D(0，－)．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖1，P為直線AC上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)△PBD的面積最大時(shí)，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，M為拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)，過M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；

（3）在（2）問的條件下，將得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，將△PBQ′沿直線BD平移，記平移中的△PBQ′為△P′B′Q″，在平移過程中，設(shè)直線P′B′與x軸交于點(diǎn)E，則是否存在這樣的點(diǎn)E，使得△B′EQ″為等腰三角形？若存在，求此時(shí)OE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，其對稱軸與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使的周長最小？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）連接，在直線的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】⑴ 閱讀理解：我們知道在直角三角形中，有無數(shù)組勾股數(shù)，例如：5、12、13；9、40、41；……但其中也有一些特殊的勾股數(shù)，例如：3、4、5；是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)組成的勾股數(shù).

解決問題：① 在無數(shù)組勾股數(shù)中，是否存在三個(gè)連續(xù)偶數(shù)能組成勾股數(shù)？

答： ，若存在，試寫出一組勾股數(shù)： .

② 在無數(shù)組勾股數(shù)中，是否還存在其它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)能組成勾股數(shù)？若存在，求出勾股數(shù)，若不存在，說明理由.

③ 在無數(shù)組勾股數(shù)中，是否存在三個(gè)連續(xù)奇數(shù)能組成勾股數(shù)？若存在，求出勾股數(shù)，若不存在，說明理由.

⑵ 探索升華：是否存在銳角△ABC三邊也為連續(xù)正整數(shù)；且同時(shí)還滿足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC？若存在，求出△ABC三邊的長；若不存在，說明理由.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】1876年，美國總統(tǒng)Garfield用如圖所示的兩個(gè)全等的直角三角形證明了勾股定理，若圖中，，，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A. B. C. D. 是等腰直角三角形

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點(diǎn)B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點(diǎn)D，與半徑AO的延長線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點(diǎn)F．

（1）求證：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的長；

（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．

【答案】(1) 見解析; (2)3 ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=60°根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)S△AOC=，得到S△ACF=，通過△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OG=OA，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°

∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切線，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×=，∴DE=；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF與△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF與△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切線．

【題型】解答題
【結(jié)束】
25

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2，0），點(diǎn)D是對角線AC上一動點(diǎn)（不與A，C重合），連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　；

（2）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；

（3）①求證：；

②設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用①的結(jié)論），并求出y的最小值．

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