Question

已知線段AB=10，點(diǎn)P在線段AB上，且AP=6，以A為圓心AP為半徑作⊙A，點(diǎn)C在⊙A上，以B為圓心BC為半徑作⊙B，射線BC與⊙A交于點(diǎn)Q（不與點(diǎn)C重合）．
（1）當(dāng)⊙B過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖1），求CQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)（如圖2），設(shè)BC=x，CQ=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)由A、P、Q、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是梯形時(shí)，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）已知了兩個(gè)圓的半徑長(zhǎng)，可通過(guò)證△CAQ∽△CBA，根據(jù)得到的比例線段即可求得CQ的長(zhǎng)．
（2）過(guò)A作AH⊥BC于H，由于AC=AQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到CH、QH的長(zhǎng)，在Rt△AQH和Rt△ABH中，分別用勾股定理表示出AH²，聯(lián)立兩式即可得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）此題要分兩種情況考慮：
①點(diǎn)A、Q在⊙B內(nèi)部時(shí)，若四邊形APQC是梯形，則PQ∥AC，在（2）題已求得CQ即y的表達(dá)式，可根據(jù)平行線分線段成比例定理，列式求得x的值；
②當(dāng)A、Q在⊙B外部時(shí)，若四邊形APCQ是梯形，則AQ∥PC，可仿照（2）的方法，過(guò)A作AH⊥BQ于H，求得QH的表達(dá)式，即可得到CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可列式求得x的值．

解答：解：（1）∵C、Q在⊙A上，
∴AC=AQ，∴∠C=∠AQC，
∵⊙B過(guò)A、C，
∴BA=BC，∴∠C=∠CAB，
∴∠AQC=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CAQ∽△CBA，（1分）
∴AC²=CQ•CB，（1分）
即6²=10•CQ，
∴CQ=3.6．（2分）

（2）作AH⊥CQ，則QH=CH=

y

2

，（1分）
且AQ²-QH²=AB²-BH²；（1分）
∵BH=x-

y

2

，且AQ=6，∴36-

y2

4

=100-(x-

y

2

)2
解之得：y=

x2-64

x

；（8＜x≤16）

（3）當(dāng)Q在BC上時(shí)：如圖1
A、P、Q、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是梯形，
且AC∥PQ，則

BA

AP

=

BC

CQ

∵CQ=y=

x2-64

x

，CB=x，AP=6，
∴

10

6

=

x

x2-64 x

，
∵x＞0，
∴解得：x=4

10

；（2分）

當(dāng)Q在BC延長(zhǎng)線上時(shí)：如圖2
A、P、Q、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是梯形，
且AQ∥PC，則

BP

AP

=

BC

CQ

，
作AH⊥CQ，則QH=CH，且AQ²-QH²=AB²-BH²
即36-QH²=100-（x-QH）²，得QH=

64-x2

2x

，
則CQ=

64-x2

x

，（1分）
則

4

6

=

x

64-x2 x

，
∵x＞0，
∴解得：x=

8

5

10

，（2分）
∴當(dāng)A、P、Q、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是梯形時(shí)，BC的長(zhǎng)為4

10

或

8

5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，注意（3）題要根據(jù)A、Q的不同位置分類討論，不要漏解．