Question

9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AD，BC的延長線交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BD延長線上任意一點(diǎn)，AB=AC．
（1）求證：DE平分∠CDF；
（2）求證：∠ACD=∠AEB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠CDE=∠ABC，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和圖形得到∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，得到∠E=∠ABD，根據(jù)圓周角定理證明．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴∠CDE=∠ABC，
由圓周角定理得，∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠FDE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB=∠ABC，
∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，
又∠CAE=∠DBC，
∴∠E=∠ABD，
∴∠ACD=∠AEB．

點(diǎn)評 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵．