Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，過點C與AC垂直的直線交x軸于點B，在x軸負半軸上取一點D，使AD=OC，連接CD．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若點M、N分別從點D、B同時出發(fā)，點M以每秒2個單位長度的速度，沿線段DB運動，到點B停止運動，點N以每秒

5

個單位長度的速度，沿線段BC運動，當(dāng)點N到達點C時停止運動，點M繼續(xù)運動．設(shè)點M運動時間為t秒，求△BMN的面積S（S≠0）關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（請直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點M作BD的垂線，交射線DC于點P，Q為線段BC的中點，是否存在這樣的t值，使△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)兩直線垂直k的積是-1，可得直線BC的k值，根據(jù)k值C點，可得答案；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)與坐標(biāo)軸的焦點，根據(jù)正弦函數(shù)，可得NE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：AQ⊥AP，AQ⊥PQ，根據(jù)垂線間k值的積是1，分別可得直線AQ、PQ的解析式，再根據(jù)兩直線的交點，可得答案．

解答：解：（1）直線y=2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，
A（-2，0），C（0，4）．
過點C與AC垂直的直線交x軸于點B，
BC的解析式是y=-

1

2

x+4；
（2）如圖1：

BC的解析式是y=-

1

2

x+4，
B點坐標(biāo)是（8，0），
AD=OC=4，
∴D（-6，0）DB=8-（-6）=14，
BC=4

5

，
sin∠B=

OC

BC

=

4

4 5

=

5

5

，
BM=14-2t，BN=

5

t，NE=t，
S=

-t2+7t(0≤t＜5) -4t+28(5≤t＜7)

；
（3）如圖2，AQ⊥AP時，
，
直線DC的解析式是y=

2

3

x+4，直線AQ的解析式是y=

1

3

x+

2

3

，
直線AP的解析式是y=-3x-6，直線AP與直線DC的交點p（-

30

11

，0），
t=-

30

11

時，△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形；
如圖3，AQ⊥PQ時，
，
直線DC的解析式是y=

2

3

x+4，直線AQ的解析式是y=

1

3

x+

2

3

，
直線QP的解析式是y=-3x+14，
PQ與DC的交點（

30

11

，0），
t=

30

11

時，△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形，
綜上所述，t=±

30

11

時，△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分類討論是解題關(guān)鍵．