Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C與AC垂直的直線交x軸于點(diǎn)B，在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)D，使AD=OC，連接CD．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長度的速度，沿線段DB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒

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個(gè)單位長度的速度，沿線段BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M繼續(xù)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求△BMN的面積S（S≠0）關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（請(qǐng)直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)M作BD的垂線，交射線DC于點(diǎn)P，Q為線段BC的中點(diǎn)，是否存在這樣的t值，使△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)兩直線垂直k的積是-1，可得直線BC的k值，根據(jù)k值C點(diǎn)，可得答案；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)與坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)，可得NE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：AQ⊥AP，AQ⊥PQ，根據(jù)垂線間k值的積是1，分別可得直線AQ、PQ的解析式，再根據(jù)兩直線的交點(diǎn)，可得答案．

解答：解：（1）直線y=2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
A（-2，0），C（0，4）．
過點(diǎn)C與AC垂直的直線交x軸于點(diǎn)B，
BC的解析式是y=-

1

2

x+4；
（2）如圖1：

BC的解析式是y=-

1

2

x+4，
B點(diǎn)坐標(biāo)是（8，0），
AD=OC=4，
∴D（-6，0）DB=8-（-6）=14，
BC=4

5

，
sin∠B=

OC

BC

=

4

4 5

=

5

5

，
BM=14-2t，BN=

5

t，NE=t，
S=

-t2+7t(0≤t＜5) -4t+28(5≤t＜7)

；
（3）如圖2，AQ⊥AP時(shí)，
，
直線DC的解析式是y=

2

3

x+4，直線AQ的解析式是y=

1

3

x+

2

3

，
直線AP的解析式是y=-3x-6，直線AP與直線DC的交點(diǎn)p（-

30

11

，0），
t=-

30

11

時(shí)，△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形；
如圖3，AQ⊥PQ時(shí)，
，
直線DC的解析式是y=

2

3

x+4，直線AQ的解析式是y=

1

3

x+

2

3

，
直線QP的解析式是y=-3x+14，
PQ與DC的交點(diǎn)（

30

11

，0），
t=

30

11

時(shí)，△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形，
綜上所述，t=±

30

11

時(shí)，△PAQ是以AQ為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分類討論是解題關(guān)鍵．