Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過圓上點D的直線CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）過點A作直線AB的垂線交BD的延長線于點E，且AB=5，BD=2，求線段AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，由OD=OB得∠ODB=∠B，而∠ADC=∠B，則∠ODB=∠ADC；再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到直線CD是⊙O的切線；
（2）先根據(jù)勾股定理計算出DA=

21

，再根據(jù)三角形相似的判定方法證明△EAB∽△ADB，然后利用相似比即可計算出AE的長．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODB=∠ADC；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠ADC=90°，
即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直線CD是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ABD中，AB=5，BD=2，
∴DA=

AB2-BD2

=

21

，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△EAB∽△ADB，
∴

AE

DB

=

AB

DB

，即

AE

21

=

5

2

∴AE=

5 21

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．